Александр Мясников родился в семье целой династии врачей. Его предки занимались лечением еще в XIX веке. Поэтому у мальчика даже не было других вариантов, кроме того как стать еще одним медиком. Он окончил Второй медицинский институт, а потом проходил ординатуру в Институте имени А.Л. Мясникова, своего дедушки. После того, как Мясников стал дипломированным врачом, он поехал вместе с группой геологов в Африку. На протяжении нескольких лет он работал в республике Мозамбик, а потом в Замбези. Спустя некоторое время его перевели в Анголу. В Москву он вернулся только спустя шесть лет.

Несколько лет он проработал в России, а потом уехал трудиться в США. На протяжении шести лет он повышал свою квалификацию, а потом вернулся на родину. Девять лет он работал в американских клиниках в Москве, а потом его пригласили в Кремль. С 2009 по 2010 год он был главным врачом Кремлёвской больницы Управления делами президента РФ.

Во время работы медиком в Кремле он начал пробовать себя на телевидении. Его первым опытом была программа "Врача вызывали?" на ТВЦ. Помимо ТВ он начал работать на радио и вести медицинскую рубрику в программе "Полный контакт" на "Вести FM". Мясников пробовал себя и на других телеканалах в медицинских программах, но в конечном счете остался на "России 1" вести передачу "О самом главном", где работает до сих пор.