В 1937 году отца Хуциева расстреляли. Во время войны будущего режиссёра не призвали в армию по состоянию здоровья. В 1944 году юноша устроился ассистентом художника на Тбилисскую киностудию.

Уже после Великой Отечественной он закончил режиссёрский факультет ВГИКа. В 1956-м состоялась премьера первого фильма Хуциева, снятого вместе с однокурсником Феликсом Миронером, — «Весна на Заречной улице». Картину посмотрели в кинотеатрах более 30 млн зрителей, она стала одной из самых популярных лент 1950-х.

Среди других известных работ Хуциева — «Мне двадцать лет» («Застава Ильича»), «Послесловие», «Июльский дождь», «Два Фёдора».